矩阵与向量相乘是线性代数中最基础的知识之一。区别开其定义形式和分量计算形式是非常重要的。
通用记号
矩阵 A 为 \(M*N\) 维的矩阵。以下下为一些记号。
其中，\(A_k\) 表示矩阵 A 的各列，\(a_k\) 表示矩阵 A 的各行，\(A_{mn}\) 表示矩阵 A 的各元素。 \(A = \left[ \begin{array}{c|c|c} \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\ A_1 & A_2 & A_3 & ... & A_n \\ \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \end{array} \right] \tag{1}\)
\[\begin{equation} A = \left[ \begin{matrix} \cdots & a_1 & \cdots \\ \cdots & a_2 & \cdots \\ \cdots & a_3 & \cdots \\ \quad & \vdots & \quad \\ \cdots & a_m & \cdots \end{matrix} \right] \tag{2} \end{equation}\] \[\begin{equation} A = \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{matrix} \right] \tag{3} \end{equation}\]矩阵 * 列向量
\(x\) 为 N 维列向量，\(y = Ax\)，则 \(y\) 为 M 维列向量。
定义形式
\[\begin{equation} y = \sum_{n=1}^N A_n x_n \end{equation}\]分量计算形式
\(y\) 的分量 \(y_k\) 为
\[\begin{equation} y_k = \sum_{n=1}^N A_{kn} x_n \tag*{$\text{for } k = 1, \cdots, M$} \end{equation}\]行向量 * 矩阵
\(x\) 为 M 维行向量，\(y=x^TA\)，则 \(y\) 为 N 维行向量。
定义形式
\[\begin{equation} y = \sum_{n=1}^M x_n^T a_m \end{equation}\]分量计算形式
\(y\) 的分量 \(y_k\) 为
\[\begin{equation} y_k = \sum_{n=1}^N x_m A_{mk} \tag*{$\text{for } k = 1, \cdots, N$} \end{equation}\]